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Sólidos de Ernesto

SÓLIDOS: PLATÓNICOS, DE ARQUÍMEDES, KEPLER – POINSOT, CATALÁN, JHONSON, ERNESTO

Ernesto Hernández Felipe*

El matemático juega un juego cuyas reglas ha inventado él mismo, mientras que el físico juega un juego en el que las reglas las determina la naturaleza; sin embargo, a medida que transcurre el tiempo, se hace cada vez más evidente que las reglas que el matemático ha encontrado interesantes son las mismas que la naturaleza ha elegido

                                                                                        Paul Dirac (1902– 1984)

 

Los sólidos en matemáticas son cuerpos geométricos, regulares o irregulares y pueden representarse como figuras en tres dimensiones, largo, ancho y alto, también presentan elementos como, caras, aristas, vértices y ángulos, se les conoce desde hace más de 4,000 años; la primera noción de sólidos con elementos geométricos fue documentada en un yacimiento neolítico en Escocia, tal vez se trataba de elementos decorativos elaborados con barro. Hablar de los sólidos también permite hacer un recorrido por diferentes épocas y conocer algunos grandes filósofos, genios matemáticos y pintores, de la misma forma me permite presentar un trabajo sobre un tipo especial de sólido dentro de la clasificación de los prismas, una extensión a un trabajo publicado en 2012 sobre las fórmulas particulares de polígonos regulares, ahora aplicado a los volúmenes. Los sólidos forman parte de nuestro ámbito cotidiano, por ejemplo, nuestra habitación puede ser un cubo, un prisma o un paralelepípedo, según las dimensiones del ancho, largo y alto, lo mismo se puede decir, del refrigerador, la estufa, el buró, el alhajero, el ropero o la maleta de viaje.

Los poliedros más conocidos son los de Platón, Arquímedes, Kepler – Poinsot, Catalán y Jhonson, más la propuesta de mi trabajo. Permítame hacer una breve descripción de cada uno de los sólidos mencionados.

SÓLIDOS DE PLATÓN

Sólidos de Platón

No hay una certeza absoluta, pero se considera que el filósofo Empédocles (480 – 430 a. C), asoció por primera vez el cubo, el tetraedro, el icosaedro y el octaedro a la tierra, el fuego, el agua y el aire respectivamente, haciendo coincidir su teoría de los cuatro elementos con los poliedros regulares conocidos y estudiados por los pitagóricos en la antigua Grecia.

Posteriormente, en sus famosos Diálogos, Platón (427 – 347 a.C.) relacionó el dodecaedro con la sustancia de la que estaban compuestas las estrellas, ya que por aquellos tiempos se pensaba que ésta habría de ser diferente a cualquiera de las de la Tierra. En el periodo último de los Diálogos, Platón pone en boca de Timeo de Locri estas palabras: “El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo”. Desde entonces los cinco sólidos pasaron a llamarse platónicos, nombre que conservan en la actualidad.

SÓLIDOS DE ARQUÍMEDES

Sólidos de Arquímedes

En “El matemático que defendió su ciudad” Juan Tonda Mazón, describe como un solo hombre de Siracusa contuvo durante tres años el asedio del mejor ejército de esa época y estuvo a punto de derrotarlo, ese ejército era el romano y ese hombre era Arquímedes (287 – 212 a. C), que para entonces había truncado los sólidos platónicos y había obtenido once poliedros convexos (cualquier par de puntos del espacio que estén dentro del cuerpo los une un segmento de recta también interno), cuyas caras son polígonos regulares (no necesariamente el mismo polígono) y sus vértices uniformes (en todos los vértices del poliedro convergen el mismo número de caras y en el mismo orden), pero no de caras uniformes (no todas las caras son iguales). Estos sólidos fueron ampliamente estudiados por Arquímedes y en el Renacimiento redescubiertos por artistas y matemáticos. Sólo hay 13 poliedros arquimedianos, once obtenidos de truncar los sólidos platónicos y dos más que no: el cubo romo y el icosidodecaedro romo, que tienen cada uno caso isomórfico, es decir, dos figuras con simetría de espejo.

 

 

SÓLIDOS DE KEPLER – POINSOT

Los sólidos de Platón y Arquímedes son todos convexos, sin embargo, rompiendo esa característica se pueden desarrollar poliedros no convexos que se obtienen prolongando las aristas de los sólidos platónicos hasta que se corten, a este proceso se le llama estelación y el resultado son sólidos estrellados.

Sólidos de Kepler – Poinsot. Imagen tomada de internet

En 2019 se cumplieron los 400 años de la publicación de “La armonía de los mundos” donde el astrónomo y matemático alemán Johannes Kepler (1571-1630) aplicó en 1619 este proceso de estelación a los sólidos platónicos, para la pirámide, el cubo y el octaedro no funciona, pues la prolongación de las aristas no vuelve a intersecarse con ninguna otra, pero para el dodecaedro e icosaedro obtuvo dos poliedros regulares no convexos: el dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro estrellado. Aunque el segundo proceda del icosaedro, los dos llevan dodecaedro en su nombre porque ambos tienen doce caras con la forma de la estrella regular de cinco puntas llamada pentagrama. El poliedro se autointerseca, eso quiere decir que sus caras no son visibles por completo porque otras la atraviesan ocultándola parcialmente.

Independientemente del trabajo de Kepler, el físico y matemático francés Louis Poinsot (1777-1859) estudió los mismos poliedros. Redescubrió en 1809 los dos anteriores, e introdujo dos más. Poinsot pensó que, si por el hecho de ser convexo se podía extender sin ningún problema el concepto de poliedro a un objeto que se autointersecase y donde las caras fueran estrellas, también podría hacer esto para los vértices y, en vez de hacer que los poliedros tuvieran los vértices habituales, fueran vértices también estrellados. En concreto obtuvo el gran dodecaedro y el gran icosaedro, en los que las caras vuelven a ser pentágonos y triángulos regulares respectivamente mientras que los vértices tomaban figura vértice de pentagrama. Conservan el grupo de simetría del icosaedro.

SÓLIDOS DE CATALAN

Existe una relación entre los sólidos de Arquímedes y el futbol, el balón de este deporte es un icosaedro truncado, recordemos que el icosaedro está compuesto por 20 triángulos equiláteros, de tal forma que al truncar los vértices obtenemos 12 pentágonos y 20 hexágonos regulares respectivamente.

Sólidos de Catalan

Los sólidos de Catalan son los duales de los correspondientes poliedros de Arquímedes, donde los vértices del sólido dual son los puntos medios de las caras del poliedro original), denominados así en honor del gran matemático belga Eugene Charles Catalan (1814 – 1894), que los describió a mediados del siglo XIX.

Las caras de los sólidos de Catalan no son polígonos regulares, pero son todas iguales. Y puesto que, como vimos, hay 13 sólidos de Arquímedes, sus duales también son 13, el triaquistetraedro; el dodecaedro rómbico; el triaquisoctaedro; el tetraquishexaedro; el icositetraedro deltoidal; el hexaquisoctaedro; el icositetraedro pentagonal; el triacontaedro rómbico; el triaquisicosaedro; el pentaquisdodecaedro; el hexecontaedro deltoidal; el hexaquisicosaedro y el hexecontaedro pentagonal.

 

SÓLIDOS DE JOHNSON

Sólidos de Norman W. Johnson

Los sólidos menos exigentes en cuanto a regularidades geométricas y por lo tanto los más abundantes son los del matemático estadounidense Norman W. Johnson (1930 – 2017) son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares no todos del mismo tipo (pues entonces serían platónicos) combinados de cualquier manera y en cualquier proporción. Por ejemplo, una pirámide como las de Egipto, de base cuadrada y cuyas caras laterales son triángulos equiláteros, es un sólido de Johnson, el primero de la lista, de hecho, ya que se clasifican del menos al más complejo, por ejemplo, en voz de Manuel acuña en su poema “Ante un cadáver” donde menciona que “Círculo es la existencia, y mal hacemos cuando al querer medirla le asignamos la cuna y el sepulcro por extremos”, esa estrofa trasladada a los poliedros en cuestión, significa que tanto la cuna como la cripta pertenecen a los sólidos de Johnson o bien análogamente y siendo más optimistas, haciendo lo mismo con una frase de Konstantin Tsiolkovski, el padre de la cosmonáutica rusa y cerebro del programa espacial soviético que puso en órbita el  “Sputnik” el primer satélite artificial de la historia de nuestro planeta “La tierra es la cuna de la humanidad, pero no se puede vivir por siempre en la cuna”.

Dadas las escasas condiciones requeridas para entrar en su club, cabría pensar que hay innumerables sólidos de Johnson; sin embargo, en 1966 demostró que solo existen 92, desde la sencilla pirámide cuadrada, pasando por los domos hasta la impronunciable hebesfenorrotonda triangular.

SÓLIDOS DE ERNESTO

Un prisma es un cuerpo geométrico, un poliedro que tiene dos bases iguales y paralelas entre sí, llamadas bases, que pueden ser cualquier polígono y un número de caras laterales igual al número de lados del polígono de sus bases y que son siempre paralelogramos, cuadrados, rectángulos, rombos o romboides.

Los sólidos que propongo se clasifican dentro de los prismas y cumplen una regularidad especial que los hace singularmente especiales, valga la redundancia, la altura es exactamente igual a la longitud del lado.

Estos poliedros tienen su origen en un trabajo publicado en 2012, sobre las fórmulas particulares de las áreas de los polígonos regulares, recordemos que el área de un polígono regular es A = Pa/2, esto significa que la superficie está en función de dos variables, el perímetro (P) y la apotema (a), sin embargo mediante un análisis algebraico y aplicando funciones trigonométricas, establezco el valor de la apotema de cada polígono en función del valor de su lado (L) y por consecuencia, el área queda en función de una sola variable, el lado, es como decir que se puede llegar a la cuadratura de todos los polígonos, de la misma forma que determinar la cuadratura del círculo fue uno de los tres problemas de la Grecia clásica, los otros dos fueron la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, que los matemáticos griegos intentaron resolver utilizando únicamente regla y compás, en otras palabras, es posible determinar la superficie de cualquier polígono regular, con solo multiplicar por sí mismo el valor del lado, igual que lo hacemos con el área del cuadrado, con la diferencia que ahora tenemos más herramientas que solo la regla y el compás.

Las fórmulas para calcular el área de los primeros polígonos regulares se encuentran en la siguiente tabla, sin embargo, estas fórmulas para dos dimensiones pueden ser extendidas a la tercera dimensión, donde adquiere una característica especial.

 

Polígono Fórmula
Triángulo A = 0.433 L2
Cuadrado A = L2
Pentágono A = 1.72 L2
Hexágono A = 2.598 L2
Heptágono A = 3.63 L2
Octágono A = 4.82 L2
Eneágono A = 6.18 L2
Decágono A = 7.69 L2
Endecágono A = 9.36 L2
Dodecágono A = 11.19 L2
Tridecágono A = 13.18 L2
Tetrádecagono A = 15.33 L2
Pentadecágono A = 17.64 L2
Hexadecágono A = 20.11 L2
Heptadecágono A =  22.73 L2
Octadecágono A = 25.52 L2
 Eneadecágono A = 28.46 L2
Icodecágono A = 31.56 L2

Cuando las fórmulas anteriores aplicables a dos dimensiones se trasladan a la tercera dimensión, ocurre la característica singular que los hace especiales, la longitud de su lado es igual a la altura y por lo tanto el volumen se puede determinar con una sola variable, el lado L. Aquí también prescindimos de la fórmula V = (Ab)(h), para calcular el volumen de los prismas, por lo tanto, podemos ver que la cuadratura de los polígonos regulares de dos dimensiones se puede trasladar también a tres, es decir a la cubicación de los sólidos, esto significa que, determinar el volumen de los poliedros que propongo, basta multiplicar tres veces por sí mismo el valor del lado, es decir, elevar al cubo el valor del lado del sólido, como si calculáramos el volumen de un cubo, por lo tanto, la tabla anterior queda de la siguiente forma.

Poliedro Fórmula
Prisma triangular V = 0.433 L3
Cubo V = L3
Prisma  pentagonal V = 1.72 L3
Prisma  hexagonal V = 2.598 L3
Prisma heptágonal V = 3.63 L3
Prisma Octagonal V = 4.82 L3
Prisma Enegonal V = 6.18 L3
Prisma decagonal V = 7.69 L3
Prisma Endecagonal V = 9.36 L3
Prisma dodecagonal V = 11.19 L3
Prisma tridecagonal V = 13.18 L3
Prisma tetradecagonal V = 15.33 L3
Prisma pentadecagonal V = 17.64 L3
Prisma hexadecagonal V = 20.11 L3
Prisma heptadecagonal V =  22.73 L3
Prisma octadecagonal V = 25.52 L3
 Prisma eneadecagonal V = 28.46 L3
Prisma Icodecagonal V = 31.56 L3

El problema de la solución de la duplicación del cubo derivó en el descubrimiento de los números inconmesurables de acuerdo a los griegos o irracionales, como los conocemos actualmente, es decir, números que no pueden expresarse mediante una fracción, como el valor de la √2, el número de oro Φ, el número de Euler o el valor de 𝞹.

 Así como hay infinitos números en el conjunto de los números naturales, también hay infinitas superficies de polígonos regulares de lado n y por lo tanto, también existen infinitos sólidos de lado n que cumplan la condición que propongo, que la altura sea igual a la longitud del lado, sin que n llegue al infinito, ya que la relación volumen y altura forman una espiral descendente que hace cero el volumen cuando n tiende al infinito y el polígono se convierte en círculo.

*Nació en Álamo, Veracruz, es Ingeniero Civil egresado del ITVH, profesor de matemáticas en nivel superior, medio superior, promotor cultural y presidente del Club de Ciencias Arturo Rosenblueth, A. C.  

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